Question

已知函数f（x）=a^x-x （a＞1）
（1）证明：

f′(x1)+f′(x2)

2

≥f′（

x1+x2

2

）；
（2）求函数f（x）的最小值，并求最小值小于0时的a取值范围．

Answer 1

考点：导数的运算,指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，进而利用基本不等式，可证得

f′(x1)+f′(x2)

2

≥f′（

x1+x2

2

）；
（2）利用导数法分析函数的单调性，进而得到其最小值，结合最小值小于0和对数的定义，可得a取值范围．

解答： 证明：（1）∵f（x）=a^x-x，
∴f′（x）=a^xlna-1，
∴

f′(x1)+f′(x2)

2

=

(ax1+ax2)lna-2

2

≥

ax1ax2

lna-1=

ax1+x2

lna-1=a

x1+x2

2

lna-1=f′（

x1+x2

2

）；
即

f′(x1)+f′(x2)

2

≥f′（

x1+x2

2

）；
解：（2）由f′（x）=a^xlna-1＞0，得：a^xlna＞1，
又∵a＞1，
∴x＞-log_alna
同理，由f′（x）=a^xlna-1＜0，得x＜-log_alna，
故函数f（x）在（-∞，-log_alna）上递减，在（-log_alna，+∞）上递增，
故当x=-log_alna时，函数f（x）取最小值

1+lnlna

lna

＜0，
即lnlna＜-1，即lna＜

1

e

，即a＜e

1

e

，
故a取值范围为（0，e

1

e

）

点评：本题考查的知识点是指数函数的综合应用，对数函数的综合应用，导数法求函数的最值，难度中档．