Question

4．在直角坐标系xOy中，曲线${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数，t≠0），其中0≤a＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4sinθ，曲线${C_3}=ρ=4\sqrt{3}cosθ$．
（Ⅰ）求C₂与C₃交点的直角坐标系；
（Ⅱ）若C₂与C₁相交于点A，C₃与C₁相交于点B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过极坐标方程与普通方程的转化公式，代入化简即可；
（Ⅱ）通过联立C₂与C₁、C₃与C₁可知A的极坐标为（4sinα，α）、B的极坐标为（4$\sqrt{3}$cosθ，α），进而利用辅助角公式，结合三角函数的有界性即得结论．

解答 解：（Ⅰ）因为C₂：ρ=4sinθ，
所以ρ²=4ρsinθ，
故C₂：x²+y²-4y=0；
因为C₃：ρ=4$\sqrt{3}$cosθ，
所以ρ²=4$\sqrt{3}$ρcosθ，
故C₃：${x}^{2}+{y}^{2}-4\sqrt{3}x=0$；
联立得交点坐标为（0，0），（$\sqrt{3}$，3）．
（Ⅱ）曲线C₁的极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤α＜π，
因此得到A的极坐标为（4sinα，α），B的极坐标为（4$\sqrt{3}$cosθ，α）．
所以|AB|=|4$\sqrt{3}$cosθ-4sinθ|=|8cos（$\frac{π}{6}$+α）|，
当α=$\frac{5π}{6}$时，|AB|取得最大值，最大值为8．

点评 本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积累，属于中档题．