Question

16．已知函数f（x）=xlnx，（e=2.718…）．
（1）设g（x）=f（x）+x²-2（e+1）x+6，
①记g（x）的导函数为g'（x），求g'（e）；
②若方程g（x）-a=0有两个不同实根，求实数a的取值范围；
（2）若在[1，e]上存在一点x₀使$m（{f（{x_0}）-1}）＞x_0^2+1$成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①求出函数的导数，计算g′（e）的值即可；②求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）问题转化为${x_0}+\frac{1}{x_0}-mln{x_0}+\frac{m}{x_0}＜0$，令$h（x）=x+\frac{1}{x}-mlnx+\frac{m}{x}$，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：f（x）的定义域（0，+∞），g（x）的定义域为（0，+∞），
（1）①g'（x）=lnx+1+2x-2e-2，∴g'（e）=0；
②$g''（x）=2+\frac{1}{x}＞0$，∴g'（x）递增，又g'（e）=0，
所以g（x）在（0，e）上递减，（e，+∞）递增，
又x趋于0的时候，g（x）趋于6；
x趋于+∞的时候，g（x）趋于+∞，
又g（e）=6-e²-e，所以a∈（6-e²-e，6）；
（2）由题可得$m（{{x_0}ln{x_0}-1}）＞x_0^2+1$，
∴$m（{ln{x_0}-\frac{1}{x_0}}）＞{x_0}+\frac{1}{x_0}$，∴${x_0}+\frac{1}{x_0}-mln{x_0}+\frac{m}{x_0}＜0$，
令$h（x）=x+\frac{1}{x}-mlnx+\frac{m}{x}$，则h（x）在[1，e]上的最小值小于0，
又$h'（x）=\frac{{（{x+1}）（{x-（{m+1}）}）}}{x^2}$，
①当m+1≥e时，即m≥e-1，h（x）在[1，e]上递减，
所以h（e）＜0，解得$m＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$；
②当m+1≤1即m≤0，h（x）在[1，e]递增，
∴h（1）＜0解得m＜-2；
③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e-1，
此时要求h（1+m）＜0又0＜ln（1+m）＜1，
所以0＜mln（1+m）＜m，
所以h（1+m）=2+m-mln（1+m）＞2，
此时h（1+m）＜0不成立，
综上m＜-2或$m＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．