Question

（本小题满分9分）如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．

（1）求证：MN∥平面PAD；

（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【解析】

试题分析：（1）由题可知，证明线面平行主要有3种方法，分别是平行四边形法，三角形中位线法，构造辅助平面法，在本题中，取PD的中点E，连接EN,EA，则四边形ENMA构成了平行四边形，由线线平行即可得出线面平行；（2）由题可知，证明面面垂直常用的方法是通过线面垂直得到，在本题中，由MN⊥平面PCD，MN平面PMC，所以得出平面PMC⊥平面PCD；

试题解析：（1）设PD的中点为E，连结AE、NE，由N为PD的中点知ENDC，

又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB,又M是AB的中点，∴ENAN，

∴AMNE是平行四边形

∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD ∴MN∥平面PAD （4分）

（2）∵PA＝AD，∴AE⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，

∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，

又MN平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD. （9分）

考点：?线面平行的判定定理?面面垂直的判定定理