Question

已知函数f（x-1）=x²-2（a+1）x-1，a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞x．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：分类讨论,换元法,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）用换元法，设x-1=t，求出f（t），即得f（x）；
（Ⅱ）由f（x）＞x，得关于x的不等式，对字母系数a进行讨论，求出不等式的解集即可．

解答： 解：（Ⅰ）令x-1=t，则x=t+1，
∴f（t）=（t+1）²-2（a+1）（t+1）-1，
整理，得f（t）=t²-2at-（2a+2），
即f（x）=x²-2ax-（2a+2）；（4分）
（Ⅱ）由f（x）＞x得x²-（2a+1）x-（2a+2）＞0，
即（x-2a-2）（x+1）＞0，
当2a+2＞-1，即a＞-

3

2

时，不等式的解为x＞2a+2或x＜-1；
当2a+2=-1，即a=-

3

2

时，不等式的解为x≠-1；
当2a+2＜-1，即a＜-

3

2

时，不等式的解为x＞-1或x＜2a+2．
综上，当a＞-

3

2

时，原不等式的解集为{x|x＞2a+2或x＜-1}；
当a=-

3

2

时，解集为{x|x≠-1}；
当a＜-

3

2

时，解集为{x|x＞-1或x＜2a+2}．（12分）

点评：本题考查了求函数的解析式与解含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应用换元法求函数的解析式，用分类讨论方法解含有字母系数的不等式，是易错题．