Question

已知函数f（x）=3^x-

a

3x

（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）为增函数，直接写出a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（Ⅲ）若存在x∈[0，1]，使得f（x）≥1成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据指数函数的单调性及增函数的定义即可求出a的取值范围；
（Ⅱ）根据奇函数的定义f（-x）=-f（x），即可求出a的值；
（Ⅲ）存在x∈[0，1]，使得f（x）≥1，即该不等式有解，带入f（x）可求出a≤（3^x）²-3^x，所以求（3^x）²-3^x在[0，1]上的最大值，a小于等于该最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）根据函数f（x）解析式及指数函数的单调性可知，a≥0；
∴a的取值范围为[0，+∞）；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为R；
若f（x）为奇函数，则：
f（-x）=3-x-

a

3-x

=-a•3x+

1

3x

=-3x+

a

3x

；
∴a=1；
（Ⅲ）由f（x）≥1得，3x-

a

3x

≥1；
∴存在x∈[0，1]，使得a≤(3x)2-3x=(3x-

1

2

)2-

1

4

；
x∈[0，1]，所以3^x∈[1，3]；
∴函数（3^x）²-3^x的最大值为6；
∴a≤6；
∴a的取值范围为（-∞，6]．

点评：考查指数函数的单调性，增函数的定义，以及奇函数的定义，配方求二次式子最大值的方法．