Question

已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a²+b²=6abcosC，且sin²C=2sinAsinB．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）设函数f（x）=sin（ωx-

π

6

）-cosωx（ω＞0），且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理的应用

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，将已知第一个等式代入表示出cosC的值，第二个等式利用正弦定理化简，代入表示出的cosC求出cosC的值，即可求出角C的大小；
（Ⅱ）先确定函数解析式，再求f（A）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）因在△ABC中，a²+b²-c²=2abcosC，
将a²+b²=6abcosC代入得：6abcosC-c²=2abcosC，
∴cosC=

c2

4ab

…（2分）
又因为sin²C=2sinAsinB，则由正弦定理得：c²=2ab…（4分）
所以cosC=

c2

4ab

=

2ab

4ab

=

1

2

所以C=

π

3

…（6分）
（Ⅱ）f(x)=sin(ωx-

π

6

)-cosωx=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx=

3

sin(ωx-

π

3

)
由已知

2π

ω

=π，ω=2，则f(A)=

3

sin(2A-

π

3

)，…（8分）
因为C=

π

3

，B=

2π

3

-A，由于0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，所以

π

6

＜A＜

π

2

…（10分）
所以0＜2A-

π

3

＜

2π

3

根据正弦函数图象，所以0＜f(A)≤

3

…（12分）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，考查三角函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．