Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（-1）=0，若不等式

x1f(x1)-x2f(x2)

x1-x2

＜0对区间（-∞，0）内任意两个不相等的实数x₁，x₂都成立，则不等式xf（2x）＜0解集是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由

x1f(x1)-x2f(x2)

x1-x2

＜0对区间（-∞，0）内任意两个不相等的实数x₁，x₂都成立，知g（x）=xf（x）在（-∞，0）上单调递减，由f（x）的奇偶性可判断g（x）的奇偶性及特殊点，从而可作出草图，由图象可解g（2x）＜0，进而得到答案．

解答： 解：∵

x1f(x1)-x2f(x2)

x1-x2

＜0对区间（-∞，0）内任意两个不相等的实数x₁，x₂都成立，
∴函数g（x）=xf（x）在（-∞，0）上单调递减，
又 f（x）为奇函数，∴g（x）=xf（x）为偶函数，
g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（-1）=g（1）=0，
作出g（x）的草图如图所示：
xf（2x）＜0即2xf（2x）＜0，g（2x）＜0，
由图象得，-1＜2x＜0或0＜2x＜1，解得-

1

2

＜x＜0或0＜x

1

2

，
∴不等式xf（2x）＜0解集是（-

1

2

，0）∪（0，

1

2

），
故答案为：（-

1

2

，0）∪（0，

1

2

）．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式的求解，综合运用函数性质化抽象不等式为具体不等式是解题关键．