Question

经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－ (k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2012年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

Answer 1

解析：(1)由题意可知当m＝0时，x＝1(万件)．

所以1＝3－k，得k＝2，即x＝3－.

每件产品的销售价格为1.5× (元)，

所以2012年的利润y＝x×1.5×－(8＋16x＋m)

＝4＋8x－m＝4＋8－m＝28－－m(m≥0)，

所以利润y表示为年促销费用的函数关系式是y＝28－－m(m≥0)．

(2)由(1)知y＝29－ (m≥0)．

因为m≥0时，(m＋1)≥2＝8，

所以y≤29－8＝21.

当且仅当＝m＋1即m＝3(万元)时，y取得最大值．

所以当促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大为21万元．