Question

在直角坐标平面xoy中，已知点F₁（-5，0）与点F₂（5，0），点P为坐标平面xoy上的一个动点，直线PF₁与PF₂的斜率kPF1与KPF2都存在，且kPF1•kPF2=λ，λ为一个常数．
（1）求动点P的轨迹T的方程，并说明轨迹T是什么样的曲线．
（2）设A、B是曲线T上关于原点对称的任意两点，点C为曲线T上异于点A、B的另一任意点，且直线AC与BC的斜率k_AC与k_BC都存在，若kAC•kBC=-

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，求常数λ的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,圆锥曲线的轨迹问题

专题：综合题

分析：（1）设P（x，y），求得kPF1=

y

x+5

，kPF2=

y

x-5

，利用kPF1•kPF2=λ可得动点P的轨迹T的方程，对λ讨论，可得轨迹；
（2）设点A（x，y），则点B（-x，-y），设C（x₀，y₀），则kAC=

y0-y

x0-x

，kBC=

y0+y

x0+x

，利用kAC•kBC=-

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，A，C在曲线T上，即可求得λ的值．

解答： 解：（1）设P（x，y），则kPF1=

y

x+5

，kPF2=

y

x-5

由kPF1•kPF2=λ得y²-λx²=-25λ（x≠±5）
∴动点P的轨迹T的方程为y²-λx²=-25λ（x≠±5）
①λ＜-1时，轨迹T是一个焦点在y轴上且去除短轴的两个端点的椭圆；
②λ=-1时，轨迹T是一个圆心在坐标原点，半径为5且去掉与x轴的两个交点的圆；
③-1＜λ＜0时，轨迹T是一个焦点在x轴上且去除长轴的两个端点的椭圆；
④λ=0时，方程为y=0（x≠±5），轨迹T是去掉两个点的一条直线
⑤λ＞0时，轨迹T是一个焦点在x轴上且去除实轴的两个端点的双曲线；
（2）设点A（x，y），则点B（-x，-y），设C（x₀，y₀），则kAC=

y0-y

x0-x

，kBC=

y0+y

x0+x

∵kAC•kBC=-

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∴

y0-y

x0-x

•

y0+y

x0+x

=-

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∴

y02-y2

x02-x2

=-

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①
∵A，C在曲线T上
∴y²=λx²-25λ（x≠±5），y02=λx02-25λ(x0≠±5)
代入①可得λ=-

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点评：本题考查轨迹与方程，考查斜率的计算，解题的关键是设点，利用斜率公式求解．