Question

已知圆C：x²+y²-8x+4y+16=0，直线l过定点（4，0）．
（1）若直线l与方向向量为a=（1，3）的直线l₁垂直，求原点到直线l的距离
（2）直线l与圆C相交于A，B两点，若△ABC的面积为

8

5

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，
（1）由直线l与方向向量

a

=（1，3）的直线l₁垂直，得到直线l的斜率，再由直线l过定点（4，0），确定出直线l的方程，利用点到直线的距离公式即可求出原点到直线l的距离；
（2）设直线l的斜率为k，由直线l过定点，表示出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，再由垂径定理及勾股定理表示出AB的弦长，以AB为底边，圆心C到直线l的距离为高，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，由已知的面积列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出直线l的方程．

解答： 解：将圆C方程化为标准方程得：（x-4）²+（y+2）²=4，得到圆心C（4，-2），半径r=2，
（1）∵直线l与方向向量

a

=（1，3）的直线l₁垂直，且直线l过定点（4，0），
∴直线l的斜率为-

1

3

，方程为y=-

1

3

（x-4），即x+3y-4=0，
则原点（0，0）到直线l的距离d=

|-4|

12+32

=

2 10

5

；
（2）设直线l的斜率为k，由直线l过定点（4，0），得到直线l方程为y=k（x-4），
∴圆心C到直线l的距离d=

2

1+k2

，又r=2，
∴|AB|=2

r2-d2

=

4|k|

1+k2

，
∴S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

1

2

•

4|k|

1+k2

•

2

1+k2

=

8

5

，
解得：k=±

1

2

或k=±2，
则所求直线方程为x-2y-4=0或x+2y-4=0或2x-y-8=0或2x+y-8=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．