Question

5．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是CC₁，AD的中点，那么异面直线D₁E和A₁F所成角的余弦值等于$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2．则A₁（2，0，2），F）1，0，0），D₁（0，0，2），E（0，2，1），则$\overrightarrow{{A}_{1}F}=（-1，0，-2）$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}=（0，-2，-1）$，$cos＜\overrightarrow{{D}_{1}E}，\overrightarrow{{A}_{1}F}＞$=$\frac{\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{{A}_{1}F}}{|\overrightarrow{{D}_{1}E}||\overrightarrow{{A}_{1}F}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$．

解答 解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2．
则A₁（2，0，2），F）1，0，0），D₁（0，0，2），E（0，2，1）
则$\overrightarrow{{A}_{1}F}=（-1，0，-2）$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}=（0，-2，-1）$，
$cos＜\overrightarrow{{D}_{1}E}，\overrightarrow{{A}_{1}F}＞$=$\frac{\overrightarrow{{D}_{1}E}•\overrightarrow{{A}_{1}F}}{|\overrightarrow{{D}_{1}E}||\overrightarrow{{A}_{1}F}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$，
∴异面直线D₁E和A₁F所成角的余弦值等于$\frac{2}{5}$，
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了向量法求异面直线夹角，属于中档题．