Question

17．已知点F是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点，若椭圆C上存在两点P、Q满足$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{FQ}$，则椭圆C的离心率的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 设P（（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F（-c，0），直线PQ：y=k（x+c），可得y₁=-2y₂．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+c）}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，得（b²+a²k²）y²-2kcb²y-b⁴k²=0
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2kc{b}^{2}}{{b}^{2}+a{k}^{2}}$…②，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-{b}^{4}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$…③
由①②③得b²+a²k²=8c²，⇒8c²≥b²=a²-c²⇒9c²≥a²即可求解

解答 解：设P（（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F（-c，0），直线PF：y=k（x+c）．
∵P、Q满足$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{FQ}$，∴y₁=-2y₂…①
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+c）}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，得（b²+a²k²）y²-2kcb²y-b⁴k²=0
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2kc{b}^{2}}{{b}^{2}+a{k}^{2}}$…②，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-{b}^{4}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$…③
由①②得${y}_{1}=\frac{4kc{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}，{y}_{2}=\frac{-2kc{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，代入③得
b²+a²k²=8c²，⇒8c²≥b²=a²-c²⇒9c²≥a²
⇒$\frac{c}{a}≥\frac{1}{3}$，∴椭圆C的离心率的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1）
故答案为[$\frac{1}{3}$，1）

点评 本题考查了椭圆的离心率，考查了方程思想、计算能力，属于中档题．