Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n（S_n≠0），a₁=$\frac{1}{2}$，且对任意正整数n，都有a_n+1+S_nS_n+1=0，则a₁+a₂₀=$\frac{1}{210}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项和为S_n（S_n≠0），a₁=$\frac{1}{2}$，且对任意正整数n，都有a_n+1+S_nS_n+1=0，可得S_n+1-S_n+S_nS_n+1=0，S_n≠0．化为$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n（S_n≠0），a₁=$\frac{1}{2}$，且对任意正整数n，都有a_n+1+S_nS_n+1=0，
∴S_n+1-S_n+S_nS_n+1=0，S_n≠0．
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，公差为1，首项为2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+（n-1），可得：S_n=$\frac{1}{n+1}$．
∴S₂₀=$\frac{20（{a}_{1}+{a}_{20}）}{2}$=$\frac{1}{21}$，解得a₁+a₂₀=$\frac{1}{210}$．
故答案为：$\frac{1}{210}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．