Question

10．已知函数f（x）=$\frac{lnx+a}{x}$，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=（x-k）e^x+k，k∈Z，e=2.71828…为自然对数的底数，当a=1时，若?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，+∞），不等式5f（x₁）+g（x₂）＞0成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题等价于x+$\frac{x+5}{{e}^{x}-1}$＞k对x∈（0，+∞）时恒成立，设h（x）=x+$\frac{x+5}{{e}^{x}-1}$，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
由f′（x）=0，解得：x=e^1-a，
0＜x＜e^1-a时，f′（x）＞0，此时f（x）递增，
x＞e^1-a时，f′（x）＜0，此时f（x）递减，
故函数f（x）在（0，e^1-a）递增，在（e^1-a，+∞）递减；
（2）a=1时，由（1）得f（x）≤f（e^1-a）=1，
故原不等式等价于5+（x-k）e^x+k＞0，当x∈（0，+∞）时恒成立，
∵x∈（0，+∞）时，e^x-1＞0，
即原不等式等价于x+$\frac{x+5}{{e}^{x}-1}$＞k对x∈（0，+∞）时恒成立，
设h（x）=x+$\frac{x+5}{{e}^{x}-1}$，则h′（x）=$\frac{{e}^{x}{（e}^{x}-x-6）}{{{（e}^{x}-1）}^{2}}$，
令F（x）=e^x-x-6，则F′（x）=e^x-1，
x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）递增，
而F（2）=e²-8＜0，F（3）=e³-9＞0，
故F（2）F（3）＜0，
故存在唯一的x₀∈（2，3），使得F（x₀）=0，即${e}^{{x}_{0}}$=x₀+6，
x∈（0，x₀）时，F（x）＜0，h′（x）＜0，∴函数h（x）递减，
x∈（x₀，+∞）时，F（x）＞0，h′（x）＞0，∴函数h（x）递增，
∴x=x₀时，函数h（x）有极小值（即最小值）h（x₀），
∵h（x₀）=x₀+$\frac{{x}_{0}+5}{{e}^{{x}_{0}}-1}$=x₀+1∈（3，4），
又k＜h（x₀），k∈Z，
∴k的最大整数值是3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．