Question

14．已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[-1，3）=-1，下列命题中正确的是（　　）
①函数f（x）=[x）-x的值域是（0，1]
②若{a_n}是等差数列，则{[a_n）}也是等差数列
③若{a_n}是等比数列，则{[a_n）}也是等比数列
④若x∈（1，2017），则方程[x）-x=sin$\frac{π}{2}$x有1007个根．

• A． ②
• B． ③④
• C． ①
• D． ①④

Answer 1

分析 根据定义一一加以判断：对①考虑当x为整数和不为整数；对②可取特殊数列比如整数等差数列和非整数等差数列加以检验；对③也取特殊数列验证；对④因为x∈（1，2017），函数f（x）=[x）-x=sin$\frac{π}{2}$x的周期T=4，在（1，5]内有两个根，一个根x∈（4，5），另一个根x=5．即可得出．

解答 解：对①，当x为整数时，[x）=x+1，即[x）-x=1，当x不为整数时，0＜[x）-x＜1，所以函数f（x）=[x）-x的 值域是（0，1]即①对；
 对②，当数列{a_n}是整数构成的等差数列，则数列{[a_n）}也是等差数列；当{a_n}不是整数构成的等差数列，则数列{[a_n）}不是等差数列．
例如：数列{a_n}：0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1；那么数列
{[a_n）}：1，1，1，1，1，1，2，2显然不是等差数列．故②错；
对③，可取等比数列{a_n}：1，2，4，8，16；则数列{[a_n）}为：2，3，5，9，17显然不是等比数列，故③错；
对④，因为x∈（1，2017），函数f（x）=[x）-x=sin$\frac{π}{2}$x的周期T=4，在（1，5]内有两个根，一个根x∈（4，5），另一个根x=5．因此方程[x）-x=sin$\frac{π}{2}$x在区间（1，2017）内共有504×2-1=1007个根．
故④对．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、函数的性质、函数与方程的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．