Question

若f（x）=

2x2+3

x

-tan

x

2

+2014在区间[-

π

2

，

π

2

]上的最大值为m，则f（x）在区间[-

π

2

，

π

2

]上的最小值为

 

（用含m的代数式表示）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：由已知条件推导出f′（x）=-

1

2

sec2

x

2

-

3

x2

+2，从而得到f′（x）=0在区间[-

π

2

，

π

2

]上无解．分别求出f(

π

2

)和f（-

π

2

），由此能求出结果．

解答： 解：∵f（x）=

2x2+3

x

-tan

x

2

+2014，
∴f′(x)=

4x•x-2x2-3

x2

-

1

2

sec2

x

2

=-

1

2

sec2

x

2

-

3

x2

+2，
∴f′（x）=0在区间[-

π

2

，

π

2

]上无解．
∵f(

π

2

)=

2• π2 4 +3

π 2

-tan

π

4

+2014
=2013+π+

6

π

，
f（-

π

2

）=

2• π2 4 +3

- π 2

-tan（-

π

4

）+2014
=2015-π-

6

π

=4028-（2013+π+

6

π

），
∵f（x）=

2x2+3

x

-tan

x

2

+2014在区间[-

π

2

，

π

2

]上的最大值为m，
∴f（x）在区间[-

π

2

，

π

2

]上的最小值为4028-m．
故答案为：4028-m．

点评：本题考查函数在闭区间上的最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．