题目内容
当a取下列哪个值时，函数f （x）=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点（ ）
| A、8 | B、6 | C、4 | D、2 |
考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理
专题：导数的综合应用
分析：求函数的导数，要使函数有2个不同的零点，则只需极大值等于0或极小值等于0，即可得到结论．
解答：
解：∵f（x）=2x3-9x2+12x-a，
∴f′（x）=6x2-18x+12=6（x2-3x+2）=6（x-1）（x-2），
由f′（x）＞0，解得x＞2或x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得1＜x＜2，此时函数单调递减，
即当x=1函数f（x）取得极大值f（1）=5-a，
当x=2函数f（x）取得极小值f（2）=4-a，
若要使函数有2个不同的零点，则只需极大值等于0或极小值等于0，
即5-a=0或4-a=0，
解得a=5或a=4，
故选：C．
∴f′（x）=6x2-18x+12=6（x2-3x+2）=6（x-1）（x-2），
由f′（x）＞0，解得x＞2或x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得1＜x＜2，此时函数单调递减，
即当x=1函数f（x）取得极大值f（1）=5-a，
当x=2函数f（x）取得极小值f（2）=4-a，
若要使函数有2个不同的零点，则只需极大值等于0或极小值等于0，
即5-a=0或4-a=0，
解得a=5或a=4，
故选：C．
点评：本题主要考查函数零点的应用，利用函数和极值之间的关系是解决本题的关键．
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