Question

3．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S₃=1，S₄=11，a_n+3=2a_n（n∈N^*），则S_3n+1=3×2ⁿ⁺¹-1．

Answer 1

分析 S₃=1，S₄=11，可得a₄=S₄-S₃．由于a_n+3=2a_n（n∈N^*），可得：a_3n+1=2a_3n-2．数列{a_3n-2}成等比数列，可得a_3n-2=a₄×2^n-2，利用数列{S_3n}成等比数列，即可得出．

解答 解：∵S₃=1，S₄=11，∴a₄=S₄-S₃=10．
∵a_n+3=2a_n（n∈N^*），∴a_3n+1=2a_3n-2．
数列{a_3n-2}成等比数列，a₄=10，公比为2．
∴a_3n-2=a₄×2^n-2=10×2^n-2．
∴数列{S_3n}成等比数列，首项S₃=1，公比为2．
则S_3n+1=S_3n+a_3n+1=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+10×2^n-1=3×2ⁿ⁺¹-1．
故答案为：3×2ⁿ⁺¹-1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．