Question

11．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直观图和三视图如图所示，E是棱CC₁上一点．
（1）若CE=2EC₁，求三棱锥E-ACB₁的体积．
（2）若E是CC₁的中点，求C到平面AEB₁的距离．

Answer 1

分析 （1）由三视图得该三棱柱是侧棱长为2的直三棱柱，底面ABC是以AB为斜边的等直角三角形，且AB=2，三棱锥E-ACB₁的体积${V}_{E-AC{D}_{1}}={V}_{A-CE{D}_{1}}$，由此能求出结果．
（2）设C到平面AEB₁的距离为d，由${V}_{C-AE{D}_{1}}$=${V}_{A-CE{D}_{1}}$，能求出C到平面AEB₁的距离．

解答 解：（1）由三视图得该三棱柱是侧棱长为2的直三棱柱，
底面ABC是以AB为斜边的等直角三角形，且AB=2，
∴AC⊥平面BB₁C₁C，BC⊥平面AA₁C₁C，
∵CE=2EC₁，CC₁=2，∴CE=$\frac{4}{3}$，
又AC=$\sqrt{2}$，
∴三棱锥E-ACB₁的体积：
${V}_{E-AC{D}_{1}}={V}_{A-CE{D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4}{9}$．
（2）∵E是CC₁的中点，CE=1，
∴AE=B₁E=$\sqrt{3}$，即△AEB₁是等腰三角形，
∵AB₁=2$\sqrt{2}$，∴△AEB₁的高为$\sqrt{3-2}$=1，
设C到平面AEB₁的距离为d，
∵${V}_{C-AE{D}_{1}}$=${V}_{A-CE{D}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{2}$，
解得d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴C到平面AEB₁的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三视图、三棱锥的体积、点到面面的距离、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．