Question

3．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥$\frac{5}{13}$|CD|，则该双曲线的离心率的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{14}{13}$，+∞）
• B． [$\frac{13}{12}$，+∞）
• C． [$\frac{15}{13}$，2）
• D． [$\frac{5}{4}$，2）

Answer 1

分析 设出双曲线的右焦点和渐近线方程，令x=c，联立方程求出A，B，C，D的坐标，结合距离关系和条件，运用离心率公式和a，b，c的关系，进行求解即可．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），
当x=c时代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
则A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
则|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
将x=c代入y=±$\frac{b}{a}$x得y=±$\frac{bc}{a}$，则C（c，$\frac{bc}{a}$），D（c，-$\frac{bc}{a}$），
则|CD|=$\frac{2bc}{a}$，
∵|AB|≥$\frac{5}{13}$|CD|，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$≥$\frac{5}{13}$•$\frac{2bc}{a}$，即b≥$\frac{5}{13}$c，
则b²=c²-a²≥$\frac{25}{169}$c²，
则e≥$\frac{13}{12}$．
故选B．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程求出交点坐标，结合距离公式进行求解是解决本题的关键，属于中档题．