Question

12．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若c=$\sqrt{6}，A={45°}$，a=2，求C，b；
（2）若a=btanA，且B为钝角，证明：B-A=$\frac{π}{2}$，并求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理即可求出C的大小，再根据正弦定理和两角和的正弦公式即可求出b
（2）根据正弦定理、商的关系化简已知的式子，由条件和诱导公式求出B-A的值，求出C和A的范围，由诱导公式和二倍角的余弦公式变形化简，利用换元法和二次函数的性质求出式子的范围．

解答 解：（1）由正弦定理可得$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$，
∵c=$\sqrt{6}，A={45°}$，a=2，
∴sinC=$\frac{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C=60°或120°，
由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$
当C=60°，sinB=sin（A+C）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴b=$\frac{2×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=1+$\sqrt{3}$，
当C=120°，sinB=sin（A+C）=sin45°cos120°+cos45°sin120°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴b=$\sqrt{3}$-1，
（2）由题意得a=btanA，
∴由正弦定理得sinA=sinB•$\frac{sinA}{cosA}$，则sinB=cosA，
∵B为钝角，∴B=$\frac{π}{2}$+A，
∴B-A=$\frac{π}{2}$；
∴C=π-（A+B）=π-（A+$\frac{π}{2}$+A）=$\frac{π}{2}$-2A＞0，
∴A∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{π}{2}$-2A）
=sinA+cos2A=sinA+1-2sin²A
=-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，
∵A∈（0，$\frac{π}{4}$），∴0＜sinA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由二次函数可知，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$≤$\frac{9}{8}$，
∴sinA+sinC的取值范围为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{9}{8}$]

点评 本题考查三角函数中恒等变换的应用，正弦定理，以及换元法和二次函数的性质，熟练掌握公式和定理是解题的关键．