Question

在直角坐标系xOy中，以M（-1，0）为圆心的圆与直线x-

3

y-3=0相切．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）如果圆M上存在不同两点关于直线mx+y+1=0对称，求m的值；
（Ⅲ）若对圆M上的任意动点P（x，y），求2x+y的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由直线与圆相切，得到圆心到切线的距离d等于半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心M到已知直线的距离d，即为圆M的半径，写出圆M方程即可；
（Ⅱ）由圆上存在两点关于直线mx+y+1=0对称，得到直线mx+y+1=0过圆心，将M坐标代入直线中，即可求出m的值；
（Ⅲ）设z=2x+y，即2x+y-z=0，圆M的圆心为（-1，0），半径为2，则M到直线2x+y-z=0的距离为

|-2-z|

22+12

=

|2+z|

5

，由题意

|2+z|

5

≤2，解不等式可得所求范围．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，圆心M（-l，0）到直线x-

3

y-3=0的距离d=r，
∴d=

|-1-3|

1+3

=2=r，
则圆M的方程为（x+1）²+y²=4；
（Ⅱ）圆M上存在两点关于直线mx+y+1=0对称，
∴直线mx+y+1=0必过圆心M（-1，0），
将M坐标代入mx+y+1=0得：-m+1=0，
解得：m=1；
（Ⅲ）设z=2x+y，即2x+y-z=0，圆M的圆心为（-1，0），半径为2，
则M到直线2x+y-z=0的距离为

|-2-z|

22+12

=

|2+z|

5

，
由题意

|2+z|

5

≤2，即z²+4z-16=0，解得-2

5

-2≤z≤2

5

-2，
所以2x+y∈[-2

5

-2，2

5

-2]．

点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两点间的距离公式，对称的性质，平面向量的数量积运算法则，以及点与圆、直线与圆的位置关系，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．