Question

一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f₁（x）=x，f₂（x）=x²，f₃（x）=x³，f₄（x）=x⁴，f₅（x）=xcosx，f₆（x）=xsinx．
（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由已知得6个函数中有三奇函数和三个偶函数，由此能求出所求概率．
（2）由已知得ξ=1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出抽取次数ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）∵f₁（x）=x，f₃（x）=x³，f₅（x）=xcosx都是奇函数，
f₂（x）=x²，f₄（x）=x⁴，f₆（x）=xsinx都是偶函数，
即6个函数中有三奇函数和三个偶函数，
故共有

C

2 3

+

C

1 3

×

C

1 3

=12取法，
故所求概率P=

C 2 3

12

=

1

4

（2）由已知得ξ=1、2、3、4，
P（ξ=1）=

C 1 3

C 1 6

=

1

2

，
P（ξ=2）=

C 1 3 C 1 3

C 1 6 C 1 5

=

3

10

，
P（ξ=3）=

C 1 3 C 1 2 C 1 3

C 1 6 C 1 5 C 1 4

=

3

20

，
P（ξ=4）=

C 1 3 C 1 2 C 1 1 C 1 3

C 1 6 C 1 5 C 1 4 C 1 3

=

1

20

，
∴ξ的分布列如下：

ξ	1	2	3	4
p	1 2	3 10	3 20	1 20

故Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．