Question

在△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，一条直线分△ABC的面积为相等的两个部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：综合题,解三角形

分析：由C为直角，在直角三角形ABC中，由边AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，再根据两直角边乘积的一半求出三角形ABC的面积，同时根据锐角三角函数定义求出sinB及cosB的值，设线段BE的长度为x，线段BF的长度为y，由直线EF把三角形分为面积相等的两部分，可得三角形BEF的面积等于三角形ABC面积的一半，由x，y及sinB的值，利用三角形的面积公式列出关系式，求出xy的值，在三角形BEF中，由x，y及cosB的值，利用余弦定理得|EF|²=x²+y²-2xycosB，把cosB的值代入，利用基本不等式变形，再将xy的值代入，即可求出|EF|的最小值，以及取得最小值时x与y的值．

解答： 解：∵C=90°，|AC|=3，|BC|=4，
∴根据勾股定理得：|AB|=5，
∴S_△ABC=

1

2

|BC|•|AC|=6，
∴sinB=

3

5

，
设|BE|=x，|BF|=y，
∵S_△BEF=

1

2

S_△ABC，
∴

1

2

xysinB=

3

10

xy=3，
∴xy=10，
在△BEF中，|BE|=x，|BF|=y，cosB=

4

5

，
由余弦定理有：|EF|²=x²+y²-2xycosB=x²+y²-16≥2xy-16=4，
当且仅当x=y=

10

时取等号，
∴|EF|_min=2．

点评：此题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，三角形的面积公式，余弦定理，以及基本不等式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．