Question

如图，在三棱锥P-ABC中，
（1）求证：平面ABC⊥平面APC
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）证明平面ABC⊥平面APC，利用线面垂直证明，即证OP⊥平面ABC；
（2）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用坐标表示点与向量，求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）平面PAC的法向量，求出平面PAM的法向量，利用二面角M-PA-C的余弦值为，可得，从而可求B点到AM的最小值．
解答：（1）证明：取AC中点O，因为AP=BP，所以OP⊥OC  
由已知，可得△ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，∴OP⊥OB
∵OB∩OC=O
∴OP⊥平面ABC，
∵OP?平面PAC，∴平面ABC⊥平面APC（4分）
（2）解：以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），
C（0，2，0），P（0，0，），（5分）
∴
设平面PBC的法向量，
由得方程组，取（6分）
∴
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．                             （8分）
（3）解：由题意平面PAC的法向量，
设平面PAM的法向量为，M=（m，n，0）
∵，，
∴
取z=1，可得
∴
∴
∴2n+2=4m（11分）
∴B点到AM的最小值为垂直距离d=．     （12分）
点评：本题考查面面垂直，考查线面角，考查平面法向量的求解，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确求出平面的法向量．