Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，则当△AEF的面积最大时，tanθ的值为（　　）

• A．2
• B．

  1

  2

• C．

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：等腰Rt△PAB中，算出AE=PE=BE=

1

2

PB=

2

．由线面垂直的判定与性质，证出PB⊥面AEF，得PB⊥EF．在Rt△PEF中算出EF=

2

tanθ，在Rt△AEF中，算出AF=

2-2tan2θ

，可得S_△AEF=

1

2

AF•EF=

-(tan2θ- 1 2 )2+ 1 4

 ，利用二次函数的图象与性质，即可得出当且仅当tanθ=

2

2

时S_△AEF有最大值，可得答案．

解答：解：在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2

2

，
∵AE⊥PB，∴AE=

1

2

PB=

2

，∴PE=BE=

2

．
∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC
∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC
∵PB?平面PBC，∴AF⊥PB
∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF，
结合EF?平面AEF，可得PB⊥EF．
Rt△PEF中，∠EPF=θ，可得EF=PE•tanθ=

2

tanθ，
∵AF⊥平面PBC，EF?平面PBC．∴AF⊥EF．
∴Rt△AEF中，AF=

AE2-EF2

=

2-2tan2θ

，
∴S_△AEF=

1

2

AF•EF=

1

2

×

2

tanθ×

2-2tan2θ

=

-(tan2θ- 1 2 )2+ 1 4

 
∴当tan²θ=

1

2

，即tanθ=

2

2

时，S_△AEF有最大值为

1

2

故选：D

点评：本题着重考查了线面垂直的判定与性质、解直角三角形、二次函数的图象与性质和最值讨论等知识点，属于中档题．同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，是一道综合性较强的题．