Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积．若f（M）=（

1

2

，x，y），且

1

x

+

a

y

≥8恒成立，则正实数a的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出

1

x

+

a

y

的最小值，建立关于a的不等关系，解之即可．

解答：解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．
∴V _P-ABC=

1

3

×

1

2

×3×2×1=1=

1

2

+x+y
即x+y=

1

2

则2x+2y=1

1

x

+

a

y

=（

1

x

+

a

y

）（2x+2y）=2+2a+

2y

x

+

2ax

y

≥2+2a+4

a

≥8
解得a≥1
∴正实数a的最小值为1
故答案为：1

点评：本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题．