Question

给出下列命题：
①函数f（x）=

ln(x+3)

1-2x

的定义域是（-3，1）；
②在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和小于1的概率是

1

2

；
③如果数据x₁、x₂、…、x_n 的平均值为a₁=-8，a₂=-6，方差为S²，则3x₁+5、3x₂+5、…、3x_n+5 的方差为9S²；
④直线ax-y+2a=0与圆x²+y²=9相交；
其中真命题个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：概率与统计

分析：①由

x+3＞0 1-2x＞0

可求得函数f（x）=

ln(x+3)

1-2x

的定义域；
②利用古典概型，作出可行域，即可求得两数之和小于1的概率是

1

2

；
③利用线性函数的均值与方差的性质可判断③的正误；
④依题意知直线ax-y+2a=0恒过定点P（-2，0），而点P在圆x²+y²=9内部，从而可知④之正误．

解答： 解：①由

x+3＞0 1-2x＞0

得：-3＜x＜0，故函数f（x）=

ln(x+3)

1-2x

的定义域是（-3，0），①错误；
②在区间（0，1）中随机地取出两个数a，b，则0＜a＜1，0＜b＜1，依题意，a+b＜1，作出可行域，

则两数之和小于1的概率P=

1

2

，故②正确；
③∵数据x₁、x₂、…、x_n 的平均值为

.

x

，方差为S²，则ax₁+b、ax₂+b、…、ax_n+b的平均值为a

.

x

，方差为a²S²，
∴数据x₁、x₂、…、x_n 的平均值为

.

x

，方差为S²，则3x₁+5、3x₂+5、…、3x_n+5 的方差为9S²，正确；
④∵直线ax-y+2a=0恒过定点P（-2，0），而（-2）²+0²＜9，即点P在圆x²+y²=9内部，故直线ax-y+2a=0与圆x²+y²=9相交，即④正确；
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的定义域、古典概型及均值与方程的应用，属于中档题．