Question

已知函数y=f（x），x∈[-1，3]的图象如图所示，令g（x）=

∫

x -1

f（t）dt，x∈（-1，3]，则g（x）的图象是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：定积分,函数的图象

专题：导数的概念及应用

分析：根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．

解答： 解：∵g（x）=

∫

x -1

f（t）dt=F′（t）|

x -1

=F′（x）-F′（-1），
∴f（x）为g（x）的导函数，由函数y=f（x）可以看出在[0，3]上大于0，所以g（x）在[0，3]上单调递增，
∵由图象可知f（0）=0，f（2）=0，
但当x＜0时，f（x）＜0，0＜x＜2时，f（x）＞0，
∴0是函数g（x）的极小值点，
由f（x）的图象可得，f（x）的值在[-1，0]上的逐渐增大，
故函数f（x）在[-1，1]和[2，3]上增长速度逐渐变大，故函数g（x）的图象是下凹型的．
导函数f（x）的值在[1，2]上的逐渐减小，故函数g（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选：D．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系以及函数在某点取得极值的条件，属于中档题．