Question

4．已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁=b₁=3，a₂+b₂=14，a₃+a₄+a₅=b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n+b_n，n∈N^*，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，且q＞0．
依题意有，$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+d+{b_1}q=14\\ 3（{a_1}+3d）={b_1}{q^2}.\end{array}\right.$
由a₁=b₁=3，又q＞0，
解得$\left\{\begin{array}{l}q=3\\ d=2.\end{array}\right.$
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，即a_n=2n+1，n∈N^*．
${b_n}={b_1}{q^{n-1}}=3×{3^{n-1}}={3^n}$，n∈N^*．
（Ⅱ）∵${c_n}={a_n}+{b_n}=2n+1+{3^n}$，
∴前n项和S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=（3+5+…+2n+1）+（3¹+3²+…+3ⁿ）
=$\frac{n（3+2n+1）}{2}+\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}$=$n（n+2）+\frac{3}{2}（{3^n}-1）$．
∴前n项和${S_n}=n（n+2）+\frac{3}{2}（{3^n}-1），n∈{N^*}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．