Question

9．在等差数列{a_n}中，a₂=1，a₄=5．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列c_n=a_n+b_n，且数列{c_n}是等比数列．若b₁=b₂=3，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
由 a₂=1，a₄=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=1}\\{{a}_{1}+3d=5}\end{array}\right.$，
解得a₁=-1，d=2．
∴${a_n}={a_1}+（n-1）d=2n-3，n∈{{N}^*}$．
（II）由a₁=-1，b₁=3，得c₁=2．a₂=，b₂=3，得c₂=4．
∵{c_n}是等比数列，$\frac{c_2}{c_1}=2$，
∴${c_n}={c_1}•{（\frac{c_2}{c_1}）^{n-1}}={2^n}$．
∴${b_n}={c_n}-{a_n}={2^n}-（2n-3）$．
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{{2-{2^{n+1}}}}{1-2}-\frac{n（-1+2n-3）}{2}$=2ⁿ⁺¹-n²+2n-2，n∈N^*．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．