Question

已知△ABC面积S和三边a，b，c满足：S=a²-（b-c）²，b+c=8，则△ABC面积S的最大值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：利用三角形面积公式变形出S，利用余弦定理列出关系式，代入已知等式计算即可求出S的最大值．

解答： 解：∵a²=b²+c²-2bccosA，即a²-b²-c²=-2bccosA，S_△ABC=

1

2

bcsinA，
∴分别代入已知等式得：

1

2

bcsinA=2bc-2bccosA，即sinA=4-4cosA，
代入sin²A+cos²A=1得：cosA=

15

17

，
∴sinA=

8

17

，
∵b+c=8，
∴c=8-b，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

4

17

bc=

4

17

b（8-b）≤

4

17

•（

b+8-b

2

）²=

64

17

，当且仅当b=8-b，即b=4时取等号，
则△ABC面积S的最大值为

64

17

．
故答案为：

64

17

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．