Question

下列命题中正确的有

 

．（填上所有正确命题的序号）
①若f′（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀取得极值；
②直线5x-2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+

π

3

）的图象不相切．
③若z∈C（C为复数集）且|z+2-2i|=1，则|z-2-2i|的最小值是3
④定积分

∫

0 -4

16-x2

dx=4π．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,导数的综合应用,数系的扩充和复数

分析：①举反例，比如f（x）=x³，f′（0）=0，加以判断即可；
②求出导数f′（x），由切线的斜率等于f′（x₀），根据三角函数的值域加以判断即可；
③|z+2-2i|=1表示圆，|z-2-2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值；
④令y=

16-x2

，则x²+y²=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的

1

4

．

解答： 解：①比如f（x）=x³，f′（0）=0，但x=0不是极值点，是因为x=0处的导数同号，故①错；
②若直线与函数的图象相切，则f′（x₀）=

5

2

，即2cos（2x₀+

π

3

）=

5

2

，显然x₀不存在，故②正确；
③|z+2-2i|=1的几何意义是以A（-2，2）为圆心，半径为1的圆，|z-2-2i|的几何意义是圆上一点到点B（2，2）的距离，连接AB并延长，显然最小值为AB-1=4-1=3，故③正确；
④令y=

16-x2

，则x²+y²=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，定积分

∫

0 -4

16-x2

dx
表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的

1

4

，故定积分

∫

0 -4

16-x2

dx=

1

4

×π×42=4π，故④正确．
故答案为：②③④

点评：本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道基础题．