Question

已知函数f(x)=

-2

2x-a+1

，若f（x）≥-2^x在x≥a上恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：化简不等式f（x）≥-2^x为2^2x-a+2^x-2≥0，构造函数h（x）=2^2x-a+2^x-2，f（x）≥-2^x在x≥a上恒成立等价于h（x）≥0，利用导数求出h（x）在[a，+∞）的最小值h（a），解不等式2•2^a-2≥0即可求出a的范围．

解答： 解：∵函数f(x)=

-2

2x-a+1

，
∴f（x）≥-2^x可化为，

-2

2x-a+1

≥-2x，
即2^2x-a+2^x-2≥0，
令h（x）=2^2x-a+2^x-2，
则h′（x）=2^2x-a•2ln2+2^x•ln2
=（2^2x-a•2+2^x）ln2，
∵ln2＞0，
∴h′（x）＞0，
∴函数f(x)=

-2

2x-a+1

在[a，+∞）上单调递增，
∴h（x）=2^2x-a+2^x-2≥h（a）=2•2^a-2，
∵f（x）≥-2^x在x≥a上恒成立等价于，
h（a）=2•2^a-2≥0，
∴a≥0，
∴实数a的取值范围是[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．

点评：本题考查导数在求函数最值中的应用，以及恒成立问题的转化，构造函数是解题的关键，属于中档题．