Question

13．（1）用分析法证明：$\sqrt{6}-\sqrt{5}＞2\sqrt{2}-\sqrt{7}$
（2）已知函数f（x）对其定义域的任意两个实数a，b．当a＜b时，都有f（a）＜f（b）．用反证法证明f（x）=0至多有一个实根．

Answer 1

分析 （1）先移项得$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，再两边平方，寻找使式子成立的充分条件即可；
（2）假设f（x）=0至少有2根，寻找与条件矛盾的式子即可．

解答 证明：（1）要证$\sqrt{6}-\sqrt{5}$＞2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$，
只需证$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
即证13+2$\sqrt{42}$＞13+4$\sqrt{10}$，
即证$\sqrt{42}$＞2$\sqrt{10}$，
只需证42＞40，
显然42＞40成立，
∴$\sqrt{6}-\sqrt{5}$＞2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$．
（2）假设f（x）=0至少有两个根，
不妨设为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）=f（x₂）=0，
∵当a＜b时，都有f（a）＜f（b）．
∴f（x₁）＜f（x₂），矛盾，
∴假设不成立，
∴f（x）=0至多有一个实根．

点评 本题考查了分析法与反证法证明不等式，属于基础题．