Question

1．若（1+3x）¹⁰⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀₀（x-1）¹⁰⁰，a_i∈R，i=1，2，3，…，则a₁+a₃+a₅+…+a₉₉=$\frac{1}{2}（{{7^{100}}-1}）$．

Answer 1

分析 （1+3x）¹⁰⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀₀（x-1）¹⁰⁰，a_i∈R，i=1，2，3，…，分别令x=0，x=2，相减即可得出．

解答 解：（1+3x）¹⁰⁰=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀₀（x-1）¹⁰⁰，a_i∈R，i=1，2，3，…，
令x=0，可得：1=a₀-a₁+a₂+…-a₉₉+a₁₀₀，
令x=2，可得：7¹⁰⁰=a₀+a₁+a₂+…+a₉₉+a₁₀₀，
则a₁+a₃+a₅+…+a₉₉=$\frac{1}{2}（{7}^{100}-1）$．
故答案为：$\frac{1}{2}（{7}^{100}-1）$．

点评 本题考查了二项式定理的应用、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．