Question

20．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，x≤0\\ x+\frac{4}{x}-a，x＞0\end{array}$，若f[f（-$\frac{1}{2}$）]=$\frac{1}{2}$，则a=8，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是a≥3．

Answer 1

分析 由分段函数解析式结合f[f（-$\frac{1}{2}$）]=$\frac{1}{2}$求得a值；求出分段函数的值域，由并集为R求得a的范围．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，x≤0\\ x+\frac{4}{x}-a，x＞0\end{array}$，
∴f（-$\frac{1}{2}$）=$-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$，则f[f（-$\frac{1}{2}$）]=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{\frac{1}{2}}-a$=$\frac{1}{2}$+8-a=$\frac{1}{2}$，得a=8；
由y=x+1，x≤0，得y≤1；
由y=$x+\frac{4}{x}-a$，x＞0，得y≥4-a，
∵f（x）的值域为R，∴4-a≤1，得a≥3．
故答案为：8；a≥3．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了分段函数的应用，是中档题．