Question

8．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点，E为BC的中点．
（1）求证：BD⊥平面AB₁E；
（2）求三棱锥C-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知正三棱柱得平面ABC⊥平面BCC₁B₁，结合E为BC的中点得AE⊥平面BCC₁B₁，进一步可得AE⊥BD，再由棱长全相等，知Rt△BCD≌Rt△B₁BE，得BD⊥B₁E，由线面垂直的判定得BD⊥平面AB₁E；
（2）在等腰三角形ABC中求出AE，利用等积法求得三棱锥C-ABD的体积．

解答 （1）证明：∵棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，且E为BC的中点，
∴平面ABC⊥平面BCC₁B₁，AE⊥BC，
又AE⊥BC，且AE?平面ABC，
∴AE⊥平面BCC₁B₁，而D为CC₁中点，且BD?平面BCC₁B₁，
∴AE⊥BD，
由棱长全相等，知Rt△BCD≌Rt△B₁BE，
即∠CBD+∠B₁EB=∠BB₁E+∠B₁EB=90°，
故BD⊥B₁E，又AE∩B₁E=E，
∴BD⊥平面AB₁E；
（2）解：在等腰三角形ABC中，由AC=2，CE=1，得AE=$\sqrt{3}$．
∴${V}_{C-ABD}={V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判断，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．