Question

10．已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若-3，S₅，S₁₀成等差数列，则S₁₅-S₁₀的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 12

Answer 1

分析 由-3，S₅，S₁₀成等差数列，可得S₁₀-2S₅=3．由数列{a_n}为等比数列可知，S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀成等比数列，可得（S10-S5）2=S5（S15-S10），变形利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵-3，S₅，S₁₀成等差数列，
∴2S₅=S₁₀-3，
∴S₁₀-2S₅=3．
由数列{a_n}为等比数列可知，S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀成等比数列，
∴（S10-S5）2=S5（S15-S10），
S₁₅-S₁₀=$\frac{（{S}_{10}-{S}_{5}）^{2}}{{S}_{5}}$=$\frac{（{S}_{5}+3）^{2}}{{S}_{5}}$=S₅+$\frac{9}{{S}_{5}}$+6≥12，当且仅当S₅=3时上式“=”成立．
则S₁₅-S₁₀的最小值为12．
故选：D．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．