Question

5．如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD=1，EC⊥BD，∠BCD=120°，EA=2，M是EC上的点，且EM=3MC．
（1）求证：BD⊥平面AEC；
（2）求BM与平面AEC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于O，利用三角形全等得出O为BD的中点，得出BD⊥AO，结合BD⊥EC得出BD⊥平面AEC；
（2）连接OM，则∠BMO即为BM与平面AEC所成的角，利用相似比求出OM，根据勾股定理计算OB，即可得出tan∠OMB．

解答 解：（1）连接AC交BD于O，
∵AB=AD，BC=CD，AC为公共边，
∴△ABC≌△ADC，∴∠DAO=∠BAO，
∴O为BD的中点，
∴AO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩AC=C，
∴BD⊥平面AEC．
（2）连接MO，由（1）得BD⊥平面AEC，
∴∠BMO即为BM与平面AEC所成的角．
∵CB=CD=1，∠BCD=120°，∴$CO=\frac{1}{2}$，$BO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$AO=\frac{3}{2}$．
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{EM}{CM}=3$，从而OM∥AE，∴$OM=\frac{1}{4}AE=\frac{1}{2}$．
∴$tan∠BMO=\frac{BO}{MO}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{1}{2}}}=\sqrt{3}$．

点评 本题你考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．