Question

3．设a是实数，f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（x∈R），
（1）若f（x）是奇函数，求a及f（x）的值域
（2）若不等式f（x）+a＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义，求出a的值，从而求出f（x）的值域即可；
（2）问题转化为a＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即a=1，
∴f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$∈（-1，1）；
（2）由题意x∈R时，2a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜0恒成立，
即x∈R时，a＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$恒成立，
∵2^x+1＞1，
∴0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，
故：a≤0．

点评 本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性问题，是一道基础题．