Question

11．抛物线x²=4y的焦点为F，经过其准线与y轴的交点Q的直线与抛物线切于点P，则△FPQ外接圆的标准方程为（x-1）²+y²=2或（x+1）²+y²=2．

Answer 1

分析 确定抛物线的焦点与在点Q处的切线，求出P的坐标，再利用PF⊥QF，即可求得△PFQ的外接圆的方程．

解答 解：抛物线x²=4y的焦点F（0，1），Q（0，-1）
求导函数可得y′=$\frac{x}{2}$，．
设P（m，n），则切线方程为y-n=$\frac{m}{2}$（x-m），即y=$\frac{m}{2}$x-n，
代入（0，-1）可得n=1，
∴m=±2
∴PF⊥QF
∴△PFQ的外接圆的直径为PQ
∵P（±2，1）、Q（0，-1）
∴圆心坐标为（-1，0），半径为$\sqrt{2}$
∴△PFQ的外接圆的方程为（x-1）²+y²=2或（x+1）²+y²=2．
故答案为（x-1）²+y²=2或（x+1）²+y²=2．

点评 本题考查抛物线的性质与切线，考查三角形的外接圆，解题的关键是求出抛物线的切线，确定三角形三个顶点的坐标．