Question

10．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$，若不等式t•f（2^x）≥2^x-1对x∈（0，1]恒成立，则t的取值范围为[$\frac{2}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 运用指数函数的单调性可得1＜2^x≤2，f（2^x）=2^x-2^-x在（0，1]递增，可得t≥$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}-{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$对x∈（0，1]恒成立．求得右边的最大值，即可得到t的范围．

解答 解：由0＜x≤1，可得1＜2^x≤2，
f（2^x）=2^x-2^-x在（0，1]递增，
且0＜f（2^x）≤$\frac{3}{2}$，
不等式t•f（2^x）≥2^x-1，即为t≥$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}-{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$
对x∈（0，1]恒成立．
由$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=$\frac{1}{1+{2}^{-x}}$在（0，1]上递增，可得x=1时，取得最大值$\frac{2}{3}$，
即有t≥$\frac{2}{3}$．
故答案为：[$\frac{2}{3}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．