Question

15．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，}&{0≤x≤1}\\{\frac{x}{a}+1，}&{-1≤x＜0}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）．若f（x）的最大值与最小值之差为$\frac{3}{2}$，则a的取值为2或$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 对a讨论，分a＞1，0＜a＜1，结合指数函数的单调性，即可得到最值，解方程可得a的值．

解答 解：当a＞1时，f（x）在[0，1]递增，
即有f（x）∈[1，a]；
f（x）在[-1，0）递增，可得f（x）∈[1-$\frac{1}{a}$，1）；
此时f（x）的最大值为a，最小值为1-$\frac{1}{a}$，
由a-（1-$\frac{1}{a}$）=$\frac{3}{2}$，解得a=2（$\frac{1}{2}$舍去）；
当0＜a＜1时，f（x）在[0，1]递减，
即有f（x）∈[a，1]；
f（x）在[-1，0）递增，可得f（x）∈[1-$\frac{1}{a}$，1）；
此时f（x）的最大值为1，最小值为1-$\frac{1}{a}$，
由1-（1-$\frac{1}{a}$）=$\frac{3}{2}$，解得a=$\frac{2}{3}$．
综上可得a=2或$\frac{2}{3}$．
故答案为：2或$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，结合指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．