Question

已知直角梯形ABCD与等腰直角△APB所在平面互相垂直，AD∥BC，∠APB=∠ABC=90°，AB=BC=2AD=2，E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：直线AE∥平面PCD；
（Ⅱ）求四面体C-PBD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取PC的中点F，连结EF，DF，由已知得四边形AEFD为平行四边形，由此能证明AE∥平面PCD．
（2）取AB中点O，连结PO，由已知得PO⊥面ABCD，由V_C-PBD=V_P-BCD，利用等积法能求出四面体C-PBD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：如图，取PC的中点F，连结EF，DF，
在△PBC中，PE=EB，PF=FC，
∴EF

∥

.

1

2

BC，又EF

∥

.

1

2

BC，∴EF

∥

.

AD，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴AE∥DF，又AE?平面PCD，DF?平面PCD，
∴AE∥平面PCD．
（2）如图，取AB中点O，连结PO，
在△APB中，AP=PB，∠APB=90°，
∴PO⊥AB，且PO=

1

2

AB=1，
又∵面APB⊥面ABCD，面APB∩面ABCD=AB，
∴PO⊥面ABCD，
在直角梯形ABCD中，S△BCD=

1

2

×BC×AB=

1

2

×2×2=2，
∴四面体C-PBD的体积V_C-PBD=V_P-BCD=

1

3

S△BCD×PO=

1

3

×2×1=

2

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查四面体的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．