Question

设平面内互不相等的非零向量

a

、

b

满足|

a

|=1，

a

-

b

与

b

的夹角为150°，则

a

•

b

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：设

a

=

OA

，

b

=

OB

，则

BA

=

a

-

b

，由已知可得：B点为半径为1的圆上与OA不重合的动点，进而利用坐标法，结合三角函数的图象和性质，可得答案．

解答： 解：设

a

=

OA

，

b

=

OB

，
则

BA

=

a

-

b

，
∵|

a

|=1，

a

-

b

与

b

的夹角为150°，
∴△OAB中，OA=1，∠OBA=180°-30°，
由正弦定理可得：△OAB的半径为1，
则B点为圆上与OA不重合的动点，

由上图可令

a

=

OA

=（

1

2

，-

3

2

），

b

=

OB

=（1+cosθ，sinθ）
则

a

•

b

=

1

2

+

1

2

cosθ-

3

2

sinθ=

1

2

+sin（

π

6

-θ），
当sin（

π

6

-θ）=1时，

a

•

b

的最大值为：

3

2

故答案为：

3

2

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦型函数的图象和性质，是三角函数与向量的综合应用，难度中档．