Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 设出双曲线方程求出C的坐标，代入化简求解双曲线的离心率即可．

解答 解：设双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，
可得C（c，2c），
代入双曲线方程：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{c}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}=1$．
可得${e}^{2}-\frac{4{e}^{2}}{{e}^{2}-1}=1$，
解得e²=3+2$\sqrt{2}$，
∴e=$\sqrt{2}+1$．
故答案为：$\sqrt{2}+1$．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．