Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n≠0，且S_n=a₁（a_n-1）．
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（II）若b_n=a_n-log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n＞2015成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用等比数列与等差数列的前n项和公式及其不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）∵S_n≠0，且S_n=a₁（a_n-1）．
∴当n=1时，a₁=a₁（a₁-1），解得a₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-1）-2（a_n-1-1），化为：a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）b_n=a_n-log${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=2ⁿ+n．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n（n+1）}{2}$．
T₉=1067，T₁₀=2101．
∴使得T_n＞2015成立的正整数n的最小值为10．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．