Question

已知f（x）=

ax+b

1+x2

（a，b为常数）是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

2

）=

4

5

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数并求值域；
（3）求不等式f（2t-1）+f（t）＜0的解集．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得：

f(0)=0 f( 1 2 )= 4 5

，解得即可．
（2）利用函数的单调性的定义即可证明；
（3）利用函数的单调性、奇偶性即可解出．

解答： 解：（1）由题意可得：

f(0)=0 f( 1 2 )= 4 5

，解得a=2，b=0，
∴f（x）=

2x

1+x2

．
（2）证明：设任意-1＜x₁＜x₂＜1，f(x1)-f(x2)=

2x1

1+ x 2 1

-

2x2

1+ x 2 2

=

2(x1-x2+x1 x 2 2 -x2 x 2 1 )

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

2(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0；
∵-1＜x₁，x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0，(1+

x

2 1

)(1+

x

2 2

)＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-1，1）上是增函数．
∴f（x）的值域为（-1，1）．
（3）∵f（2t-1）＜-f（t）=f（-t），
∴

-1＜2t-1＜1 -1＜t＜1 2t-1＜-t

⇒0＜t＜

1

3

．

点评：本题考查了函数的单调性的定义及其单调性、奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．